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| | 几何学的创始人——德国黎曼
| | | | 几何学的创始人——德国黎曼(1826—1866)
德国有名的数学家希尔伯特在老年时曾被人间到一个有趣的问题：“假定你去世后一两千年能复活，您会做什么呢?”希尔伯特毫不犹豫且满脸认真地回答道：“我会先问‘黎曼猜想’是否已经解决了?”原来他在1900年时就把这问题列为20世纪数学家所面对的一个重
要难题，如果他死能复活，当然关心的是这个问题是否解决了?你一定会自然而然地想到所谓“黎曼猜想”的作者正是本文的主人翁——黎曼。
数学奇才
格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼(GeorgFfiedrichBernhardRiemann)是德国数学家。1826年9月17日他出生在德国汉诺威的一个叫布雷斯伦茨的小村庄，父亲伯恩哈德·黎曼是当地的牧师。他家人口较多，全家共有6个小孩，他排行第二。黎曼天资聪明，为人
友善，深得父母的喜爱。5岁时，他对历史表现出了强烈的兴趣，常因沉迷于古代战争故事而难以自拔。对于非正义的事他嫉恶如仇，对于被压抑的民族，他常常抱以深切的同情，他特别同情波兰人被外国侵略者统治的命运。一年后，他的兴趣逐渐转移，他开始学习算术，算术给这个敏感的孩子提供了一些不太困难的东西去细想。从此，他天生的数学才能开始表现出来，他不但解决了别人留给他的所有题目，甚至还常出一些困难的题目去考他的兄弟姐妹。有个故事足可以证明他的数学天赋。据黎曼中学时的数学老师回忆说“黎曼在16岁时曾经向我借数学书看，并且很谦虚地说希望有一本不太容易看懂的书。我对他说只要你喜欢，书架上的书任你挑选，结果他选了法国数学家勒让德的《数论》。这是一本长达859页、难度非常大的大四开本书。我对黎曼说：‘试试，看你能读懂里面多少东西。’6天后，他把书送回来了。我问他读懂了多少?他竟回答说：‘这本书写得非常奇妙，我已全部懂了。’此后，黎曼就再也没有看这本书了。在后来的，数沦’毕业考试中老师拿勒让德那本书里的一些问题来考黎曼，出乎老师的意料，他的回答是那样的精彩，好像他是特意读了那本书准备考试一样。数论对他是那样有特别的吸引力，后来，黎曼又读了勒让德写的其他几何书，并从几何书中选了许多题目来做。这说明，还在中学时代，黎曼就已显示出他是一个数学天才了，他具有很强的数学直观能力及抽象思维能力。”
1846年黎曼进人哥廷根大学研读哲学和神学。实际上，神学并非他的兴趣所在。他只是为了让他的父亲高兴，想尽快得到一个有报酬的工作，以便在经济上支援家庭，才选择了神学。然而，他的心思仍然扑在数学上，他丢不开斯特恩的方程沦和定积分，高斯的最小二乘法及戈尔德斯米特的地磁学。黎曼的父亲不忍心看他学得那么辛苦，最终还是让他选择了数学专业。
因哥廷根大学的教育方法较为落后，在读了一年后，黎曼便转到了柏林大学，从学于著名教授雅可比，狄利克雷．施特涅尔。从此他便开始进入新的、充满活力的数学境界。他从老师那里学到了很多东西-如从雅可比那里学到了高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学到了数论和分析，从施特涅尔那里学到了现代几何，而从比他年长3岁的艾森斯坦那里不仅学到了椭圆函数，而且学到了一个人为何坚持“自信”，因为他和这位年轻的大师兄对数学理论应该如何发展，有着根本的、最激励人的不同观点。
1849年在回哥廷根准备写博士论文时，为了减轻父亲的经济负担．黎曼参加了由高斯的朋友韦伯等主持的数学物理研讨会，并作为韦伯的助手做一些物理实验，为一些初学物理的人进行讲演。这些琐碎的事使黎曼花掉了不少时间，并影响了他递交博士论文的时间。到了1851年11月，他才呈上了《复变函数论的一般理论的基础》一文。高斯对这篇论文的评价很高，他说：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，证明作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，以及具有灿烂丰富的想象力。”
1854年在取得哥廷根大学的哲学博土学位后，黎曼想谋取讲师职位。为此，他得做一次就职演讲，为了对付这次严峻的考验，黎曼提交了三个题目由老师们从中选择，他希望他们会选中前两个题目中的一个，因为前两个题目他早已经准备好了，但使黎曼失望的是，高斯指定了黎曼轻率地提出的第三个题目——“几何基础”。在没多少准备的情况下，黎曼在1854年所做的讲演《论作为几何基础的假设》不仅是数学上的一篇杰作，而且在表述方面也堪称典范，为此高斯兴奋不已，并顺利地让黎曼获得了讲师职位。提出“黎曼几何学”
2000多年来，人们一直认为欧几里得平面几何学是反映现实世界惟一正确的几何学。19世纪20—30年代非欧氏几何的诞生使人们从这一思想中解放出来。在数学史中，很少有一个分支能像非欧氏几何那样对人类的认识史发生如此深刻的影响，其代表人物主要有高斯．鲍耶、罗巴切夫斯基，其中著作最多并为确立和发展非欧几何而始终不渝的当推罗巴切夫斯基。罗巴切夫斯基从宇宙弯曲的空间特性出发，对欧氏的平行公理(常称第五公设)进行改进，而得出了三角形的内角和小于两直角的公理，从而推翻了欧几里得几何学的惟一性的传统观念，这一思想一般简称为“罗氏几何”。
1854年,黎曼在《关于几何基础的假设》的演说中，站在微观空间的立场，又提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的非欧几何，即黎曼几何，被称为椭圆几何，是非欧几里得几何的一种。它完全排除欧几里得的第五公设，并对第二公设加以修改。欧几里得的第五公设是：经给定直线外的一点，有惟一的一条直线与之平行，在黎曼几何学中没有与给定直线平行的直线。欧几里得的第二公设是：有限直线段可以无限延长。在黎曼几何学中，有限的直线段可以无限延长，但所有直线有相同的长度。欧几里得的其余三个公设仍被采用。虽然黎曼几何学的有些定理与欧几里得几何相同，但多数是不同的。例如，在欧几里得几何中两条平行线，处处有相同的距离，而在黎曼几何中，平行线不存在；在欧几里得几何中，三角形三内角之和等于两直角，而在黎曼几何中，其和小于两直角。在欧几里得几何中，面积不等的多边形可以相似，而在黎曼几何中，不存在面积不等的相似多边形。所以在大的范围里，与欧氏几何有着很大的区别。黎曼揭示了不同于欧几里得几何的各种几何的可能性，他的这一工作，引出了深远的结果，而且有益于相对论。
提出“黎曼猜想”
几千年前，人类就已知道2，3，5，7，3l，59，97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数(或质数)，古希腊数学家欧几里得用反证论证明了在正整数集合里有无穷多的素数。著名数学家欧拉在1737年给了欧几里得定理的另外一个巧妙的证
8 1 1 1 1 1
明。他引进了zeta函数￡(S)＝∑ --- = --- + --- + --- + --- +……
n=1 ns 1s 2s 3s 4s 对于S是实数的情况，欧拉证明当S>l时，级数收敛。利用这个结果，欧拉又证明了素数的倒数是发散的。
但是，欧拉没有考虑当S是复数时，zeta函数的敛散情况。1859年，黎曼发表著名沦文《论小于已知数的素数的个数》，该文刊登在1859年11月柏林科学院的月报上，其时黎曼33岁。在这篇论文中，黎曼第一个成功地把zeta函数作为复变数S(u+iv)的函数来加以研究。他利用了欧拉的无穷乘积表示法，首先证明了当u>1时，zeta函数是一个没有零点的正则函数。接着证明了当S=u+iv,u>1时:”zeta函数没有零点；而当u<0时，zeta函数除了在S=-2，-4……处有零点外，没有其他零点。通常称这些零点为“平凡零点”。那么，对于什么样的复数s，zeta函数是零呢?黎曼给出了这样的猜想：“zeta函数的一切非平凡零点的实数部分都等于1／2。也就是说，这些零点都集中在复平面上横坐标等1／2的那条直线上，”
这就是世界著名的数学难题之一——“黎曼猜想”。它的解决意义十分重大。无沦谁证明了它成立或证明它不成立，都将给自己带来荣誉，并将附带解决素数理论、高等数学的其他部分，以及一些分析学领域中的许多极为困难的问题。1900年夏，在巴黎举行的展望新世纪的国际数学家代表大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个尚待解决的数学难题，“黎曼猜想”被列为第8个问题，希尔伯特称它是“极重要的黎曼命题”。根据希尔伯特的推测，对黎曼猜想进行彻底讨沦之后，人们或许就能够去严格地解决哥德巴赫问题。黎曼猜想虽然至今未能解决，但是一个世纪以来数学家们还是通过顽强的努力取得了不少进展。
英年早逝
在100多年前的法国大学，只有正式的教授才能领到政府的津贴，有资格开设正规的课程，并由此可以收取学生交的学费。黎曼在1854年成为哥廷根大学的讲师，黎曼可以开课，可是学数学的学生不太多，而且黎曼得不到政府的任何津贴，因此他的生活是很贫苦的。他的父亲是清贫的小乡村牧师，因此也不可能对黎曼的经济有什么帮助，尽管他常因贫穷而生病，可是他仍顽强地在数学上钻研，不因健康和经济而动摇对数学研究的爱好。这一状况一直延续到1859年狄利克雷去世，黎曼继承他的职位。之后，他的经济状况才有些好转，但因长期营养不良及工作劳累，他的身体每况愈下。
1862年他和一个朋友的妹妹伊丽莎·康希(EviseKoch)结婚，第二年有了女儿比萨，可就在这一年，他的病情却变得越来越严重了，以至于不得不放下手中的工作去养病。他最后的日子是在骄利湖畔的塞拉斯卡的一栋别墅中度过的。传记作家是如此讲述着黎曼怎样离开人间的：“他的力气迅速衰退，他感到自己的终点近了。去世的前一天，他坐在一棵无花果树下工作，在环绕着他的灿烂的风景中，他的心灵充满了愉悦……他的生命缓缓地衰竭，没有斗争或死亡的痛苦，看起来他仿佛很有兴趣地注视着灵魂脱离躯体……”这正是1866年7月20日，黎曼轰轰烈烈的一生却在悄无声息中告别了人间．享年仅39岁。在他的意大利的朋友们为他竖立的墓碑上，铭文的最后一句是：“凡爱上帝者必诸事顺遂。”
黎曼具有很强的数学天赋，这天赋使他超越了当代的数学家。在他的兴趣被激发的领域，他不管当局是否会接受他的研究，也不让传统来误导他。然而，由于经济拮据，再加上过度劳累，他像流星一样出现然后消失，他活跃的时间只不过15年，他的著作也不多，但却
异常深刻，极富于概念的创造与想象。他的思想对现代函数论发展的影响是缓慢而逐渐的，他的工作不会在当时引起突然的革命，但却直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。人们永远不会忘记这位英年早逝的数学家。
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